Indirekter Dreisatz: antiproportional rechnen

Der indirekte Dreisatz, auch umgekehrter oder antiproportionaler Dreisatz genannt, beschreibt Zuordnungen, bei denen sich zwei Größen gegenläufig verändern. Verdoppelt sich die eine, halbiert sich die andere. Verdreifacht sich die eine, schrumpft die andere auf ein Drittel. Mathematisch ist das Produkt beider Größen konstant: x · y = k.

Typische Paare sind Anzahl der Arbeitskräfte und Dauer, Geschwindigkeit und Fahrzeit, Anzahl der Personen und Reichweite eines Vorrats oder Breite und Länge eines Rechtecks mit fester Fläche. Den direkten Fall erklärt der Ratgeber Dreisatz erklärt.

Auch der indirekte Dreisatz geht über die Einheit, nur in umgekehrter Richtung. Beispiel: Eine Strecke dauert bei 80 km/h 1,5 Stunden. Wie lange dauert sie bei 100 km/h?

Die Zeile „1 km/h dauert 120 Stunden“ wirkt absurd, ist aber nur ein Zwischenschritt. Sie entspricht der Strecke von 120 km. Ergebnis: 1,2 Stunden, also 1 Stunde und 12 Minuten.

x = a × b ÷ c

Dabei sind a und b das bekannte Wertepaar und c der neue Wert der ersten Größe: 80 × 1,5 ÷ 100 = 1,2.

1. Je-desto-Frage: „Je mehr Pumpen, desto …“ – weniger Zeit. Gegenläufig heißt antiproportional.
2. Verdopplungstest: Was passiert, wenn Sie die erste Größe verdoppeln? Halbiert sich die zweite, ist es indirekt.
3. Produktprobe: Multiplizieren Sie die Wertepaare. Bleibt das Produkt gleich (4 × 12 = 6 × 8 = 48), stimmt die Annahme.

Achtung bei Formulierungen: „Mehr Geld“ ist nicht immer „mehr Ware“. Wer mit festem Budget einkauft, bekommt bei höherem Stückpreis weniger Stück. Budget fest, Preis und Menge antiproportional.

Futtervorrat

Ein Vorrat reicht 20 Tieren 30 Tage. 20 × 30 = 600 Futtertage. Für 25 Tiere: 600 ÷ 25 = 24 Tage.

Pumpen

3 Pumpen leeren einen Keller in 10 Stunden. 3 × 10 = 30 Pumpenstunden. Mit 5 Pumpen: 30 ÷ 5 = 6 Stunden.

Fliesen

Mit Fliesen von 30 cm Breite braucht eine Wand 40 Reihen. Mit 20 cm breiten Fliesen: 30 × 40 = 1.200, ÷ 20 = 60 Reihen.

Ratenzahlung

Ein Betrag wird in 12 Raten zu 150 € bezahlt. Bei 18 Raten: 12 × 150 = 1.800 €, ÷ 18 = 100 € pro Rate (ohne Zinsen).

Gemischte Aufgabe

6 Personen streichen einen Zaun in 4 Tagen bei 8 Stunden täglich. Wie viele Tage brauchen 4 Personen bei 6 Stunden täglich? Gesamtaufwand 6 × 4 × 8 = 192 Personenstunden. Pro Tag schaffen 4 Personen 4 × 6 = 24 Stunden. 192 ÷ 24 = 8 Tage. Beide Änderungen wirken antiproportional auf die Dauer.

• Richtung vertauscht: Wer bei 6 statt 4 Arbeitern 12 ÷ 4 × 6 = 18 Tage rechnet, hat proportional gerechnet. Plausibilitätscheck: Mehr Leute dürfen nicht länger brauchen.
• Ungleiche Leistung: Die Rechnung setzt voraus, dass alle Arbeitskräfte oder Maschinen gleich schnell sind.
• Nicht teilbare Arbeit: Rüstzeiten, Wartezeiten oder Aufgaben, die nur eine Person erledigen kann, brechen die Annahme.
• Einheiten mischen: 1,2 Stunden sind 1 Stunde 12 Minuten, nicht 1 Stunde 20 Minuten.

Zeichnet man die Wertepaare einer indirekten Zuordnung, entsteht keine Gerade, sondern ein Hyperbelast. Die Kurve fällt steil ab und nähert sich den Achsen, ohne sie zu berühren. Daran sehen Sie: Die Dauer kann durch mehr Personal immer weiter sinken, aber nie null werden. Eine proportionale Zuordnung dagegen ist eine Gerade durch den Ursprung.

Im Unterricht wird die indirekte Proportionalität meist in Klasse 7 eingeführt, oft zusammen mit Wertetabellen. Für die schnelle Kontrolle Ihrer Rechnung eignet sich der Dreisatzrechner, in dem Sie die Zuordnung auf „antiproportional“ stellen.

Eine Wertetabelle macht die Produktgleichheit sichtbar. Für ein Rechteck mit 24 cm² Fläche gilt:

Jede Zeile ergibt dasselbe Produkt. Fehlt ein Wert, teilen Sie das Produkt durch den bekannten Partner: Bei 5 cm Breite ist die Länge 24 ÷ 5 = 4,8 cm. Dieser Weg ist oft schneller als der klassische Dreisatz, weil die Einheit als Zwischenschritt entfällt.

Die Annahme „doppelt so viele, halb so lange“ gilt nur, wenn die Arbeit vollständig teilbar ist und alle Beteiligten gleich schnell arbeiten. Bei Umzügen, Malerarbeiten oder Erntehelfern ist das näherungsweise der Fall. Bei Besprechungen, Wartezeiten oder Abläufen, die aufeinander aufbauen, nicht. Auch Fahrzeiten sind nur bei gleicher Strecke und konstanter Geschwindigkeit antiproportional; Staus, Ampeln und Pausen stören die Rechnung.

Ein zweites typisches Feld ist das Budget. Bei einem festen Betrag sinkt die Menge, wenn der Preis steigt. Wer jeden Monat 60 € für Kaffee ausgibt, bekommt bei 12 € pro Packung fünf Packungen, bei 15 € nur vier. In der Physik begegnet Ihnen dieselbe Struktur im Hebelgesetz und im Gesetz von Boyle-Mariotte: Bei gleicher Temperatur halbiert sich das Volumen eines Gases, wenn sich der Druck verdoppelt.

1. Ein Auto braucht bei 90 km/h für eine Strecke 2 Stunden. Wie lange bei 120 km/h? Lösung: 90 × 2 = 180 km, 180 ÷ 120 = 1,5 Stunden.
2. 8 Helfer bauen ein Festzelt in 6 Stunden auf. Wie lange brauchen 12? Lösung: 48 Helferstunden ÷ 12 = 4 Stunden.
3. Ein Vorrat Brennholz reicht bei 5 Kilogramm pro Tag 60 Tage. Wie lange reicht er bei 4 Kilogramm pro Tag? Lösung: 300 kg ÷ 4 = 75 Tage.
4. Eine Klasse sammelt Geld für einen Ausflug. Bei 24 Schülern zahlt jeder 15 €. Wie viel bei 30 Schülern? Lösung: 360 € ÷ 30 = 12 €.
5. Ein Garten wird mit 3 Rasensprengern in 40 Minuten bewässert. Wie lange mit 5? Lösung: 120 ÷ 5 = 24 Minuten.

Machen Sie bei jeder Aufgabe zuerst den Plausibilitätscheck: Mehr Helfer, mehr Sprenger oder höhere Geschwindigkeit müssen zu weniger Zeit führen. Erst dann rechnen Sie. Ergibt sich ein größerer Wert, ist die Richtung vertauscht.

Weil das Produkt konstant ist, gilt a × b = c × x. Teilt man beide Seiten durch c, steht die Formel da. Diese Herleitung ist zugleich die schnellste Probe: Setzen Sie Ihr Ergebnis ein und prüfen Sie, ob beide Produkte gleich sind. Bei den Arbeitern aus dem Beispiel oben ergibt 4 × 12 = 48 und 6 × 8 = 48, die Rechnung stimmt also.