Dreisatz erklärt: Schritte, Formel und Beispiele

Der Name beschreibt das Verfahren: drei Sätze, die nacheinander von der bekannten Information zur Lösung führen. Grundlage ist immer eine Zuordnung zwischen zwei Größen, etwa Menge und Preis, Strecke und Verbrauch oder Personen und Zutaten.

Wichtig ist, dass Sie links und rechts immer dasselbe tun. Teilen Sie die Menge durch 3, teilen Sie auch den Preis durch 3. Die gesuchte Größe gehört dabei immer in die rechte Spalte, dann steht die Lösung am Ende unten rechts.

Bevor Sie rechnen, prüfen Sie die Art der Zuordnung mit einer Je-desto-Frage:

• Proportional: Je mehr, desto mehr. Doppelte Menge, doppelter Preis. Das Verhältnis beider Größen bleibt gleich (Quotientengleichheit).
• Antiproportional: Je mehr, desto weniger. Doppelt so viele Arbeiter, halbe Zeit. Das Produkt beider Größen bleibt gleich (Produktgleichheit).
• Weder noch: Gibt es einen festen Anteil, etwa eine Grundgebühr beim Taxi, ist der einfache Dreisatz ungeeignet. Dann brauchen Sie eine Gleichung.

Der antiproportionale Fall hat einen eigenen Ratgeber: Indirekter Dreisatz.

Wer die drei Sätze zusammenfasst, erhält eine Formel. Sind a und b die bekannten Werte und c die neue Menge, gilt für den proportionalen Dreisatz:

x = b ÷ a × c

Im Beispiel: x = 7,50 ÷ 3 × 5 = 12,50. Für den antiproportionalen Dreisatz gilt x = a × b ÷ c.

Dasselbe Ergebnis liefert eine Verhältnisgleichung. Weil beim proportionalen Dreisatz die Quotienten gleich sind, gilt x ÷ 5 = 7,50 ÷ 3. Multipliziert man über Kreuz, entsteht 3 · x = 7,50 · 5, also x = 37,50 ÷ 3 = 12,50. Diese Kreuzmultiplikation ist schneller, aber fehleranfälliger, weil man leicht einen Wert falsch einsetzt. Für Klassenarbeiten lohnt es sich, beide Wege einmal zu vergleichen.

Rezept umrechnen

Ein Rezept für 4 Personen braucht 300 g Mehl. Für 10 Personen: 300 ÷ 4 = 75 g pro Person, × 10 = 750 g.

Benzinverbrauch

Ein Auto verbraucht 6,4 l auf 100 km. Für 350 km: 6,4 ÷ 100 = 0,064 l pro km, × 350 = 22,4 l.

Stundenlohn

Für 38 Stunden gibt es 798 € brutto. Für 25 Stunden: 798 ÷ 38 = 21 € pro Stunde, × 25 = 525 €.

Arbeiter und Tage (antiproportional)

4 Arbeiter brauchen 12 Tage. Wie lange brauchen 6? 4 × 12 = 48 Arbeitertage, ÷ 6 = 8 Tage.

Dreisatz mit Prozent

80 € sind 100 %. Wie viel sind 15 %? 80 ÷ 100 = 0,80 € pro Prozent, × 15 = 12 €. Die Prozentrechnung ist ein proportionaler Dreisatz mit dem Grundwert als 100 %; mehr dazu unter Prozent berechnen.

Hängt die gesuchte Größe von zwei oder mehr Größen ab, rechnen Sie mehrere Dreisätze nacheinander. Beispiel: 3 Maschinen stellen in 5 Stunden 450 Teile her. Wie viele Teile schaffen 5 Maschinen in 8 Stunden?

1. Auf 1 Maschine: 450 ÷ 3 = 150 Teile in 5 Stunden.
2. Auf 1 Stunde: 150 ÷ 5 = 30 Teile pro Maschine und Stunde.
3. Hochrechnen: 30 × 5 Maschinen × 8 Stunden = 1.200 Teile.

Prüfen Sie für jede Größe einzeln, ob sie proportional oder antiproportional wirkt. Mehr Maschinen bedeuten mehr Teile, mehr Stunden ebenfalls, beide Schritte sind hier proportional.

• Grundgebühren: Ein Handytarif kostet 10 € plus 0,09 € pro Minute. 100 Minuten kosten 19 €, 200 Minuten aber nicht 38 €, sondern 28 €.
• Mengenrabatt: Wird es pro Stück billiger, wächst der Preis langsamer als die Menge.
• Zinseszins: Kapital wächst exponentiell, nicht linear. Siehe Zinseszins erklärt.
• Physikalische Grenzen: Neun Frauen bekommen nicht in einem Monat ein Kind. Antiproportionale Annahmen gelten nur, solange die Arbeit wirklich teilbar ist.

1. 5 Hefte kosten 4,25 €. Was kosten 8 Hefte? Lösung: 0,85 € × 8 = 6,80 €.
2. Ein Drucker schafft 120 Seiten in 4 Minuten. Wie lange dauern 330 Seiten? Lösung: 30 Seiten pro Minute, 330 ÷ 30 = 11 Minuten.
3. Ein Futtervorrat reicht 20 Tieren 30 Tage. Wie lange reicht er 25 Tieren? Lösung: 600 Futtertage ÷ 25 = 24 Tage (antiproportional).
4. 2 Pumpen füllen ein Becken in 9 Stunden. Wie lange brauchen 3 gleiche Pumpen? Lösung: 18 ÷ 3 = 6 Stunden.

Den Rechenweg können Sie mit dem Dreisatzrechner kontrollieren, der jeden Schritt anzeigt.

Viele Lehrkräfte verlangen, den Rechenweg als Tabelle mit Pfeilen zu notieren. Links stehen die Werte der ersten Größe, rechts die der zweiten, zwischen den Zeilen schreiben Sie die Rechenoperation an beide Pfeile. So sieht man auf einen Blick, ob links und rechts dasselbe passiert (proportional) oder das Gegenteil (antiproportional).

Wer Brüche mag, schreibt dieselbe Aufgabe als Verhältnis: 2,5 : 30 = 4 : x. Daraus folgt x = 30 × 4 ÷ 2,5 = 48. Für Rechnungen mit unbequemen Zahlen ist der Umweg über die Einheit manchmal unpraktisch. Dann können Sie auf eine bequeme Zwischenmenge rechnen statt auf 1, etwa auf 0,5 l oder auf 10 m². Entscheidend ist nur, dass beide Seiten mit demselben Faktor verändert werden.

Runden Sie erst am Ende. Wer im mittleren Satz 7,50 ÷ 7 = 1,07 € notiert und damit weiterrechnet, verliert Genauigkeit: 1,07 × 12 = 12,84 €, exakt sind es 12,857… also 12,86 €. Bei Geldbeträgen gilt das Runden auf zwei Nachkommastellen, bei Stückzahlen auf ganze Zahlen, und zwar in die Richtung, die die Aufgabe verlangt. Wer wissen will, wie viele Dosen Farbe für 50 m² nötig sind, rundet immer auf, auch wenn 4,2 Dosen herauskommen.

Achten Sie außerdem auf einheitliche Einheiten. Stehen in der Aufgabe Minuten und Stunden, Gramm und Kilogramm oder Cent und Euro, rechnen Sie vor dem ersten Satz alles in dieselbe Einheit um. Viele Fehler in Klassenarbeiten entstehen nicht im Dreisatz selbst, sondern beim Umrechnen davor.

Das Verfahren ist deutlich älter als der Name. Schon in indischen und arabischen Rechenbüchern des Mittelalters taucht die „Regel von drei“ auf, über italienische Kaufleute gelangte sie nach Europa. In den Rechenbüchern von Adam Ries aus dem 16. Jahrhundert heißt sie „Regula de tri“ und war das wichtigste Werkzeug für Händler, die Preise, Gewichte und Währungen umrechnen mussten. Der Begriff „Dreisatz“ beschreibt bis heute dasselbe: aus drei bekannten Werten den vierten bestimmen.