Zinseszins erklärt: Formel, Beispiel und 72er-Regel

Bei der einfachen Verzinsung werden Zinsen immer nur auf das ursprüngliche Kapital berechnet. Beim Zinseszins werden die Zinsen am Ende jeder Zinsperiode zum Kapital addiert. In der nächsten Periode verzinst die Bank dann auch diese Zinsen. Das Kapital wächst deshalb nicht in gleich großen Schritten, sondern mit einem festen Faktor pro Jahr, also exponentiell.

Voraussetzung ist, dass die Zinsen im Vertrag bleiben. Bei Tagesgeld, Festgeld mit Zinsgutschrift und thesaurierenden Fonds ist das der Fall. Werden Zinsen jährlich ausgezahlt, wie bei manchen Sparbriefen oder Anleihen, entsteht kein Zinseszins, es sei denn, Sie legen sie selbst wieder an. Den direkten Vergleich zeigt der Ratgeber Einfacher Zins vs. Zinseszins.

Kₙ = K₀ × (1 + p ÷ 100)ⁿ

• K₀: Anfangskapital
• p: Zinssatz pro Jahr in Prozent
• n: Laufzeit in Jahren
• Kₙ: Endkapital nach n Jahren

Der Ausdruck (1 + p ÷ 100) heißt Aufzinsungsfaktor oder Zinsfaktor q. Bei 3,2 % ist q = 1,032. Die Zinsen allein ergeben sich als Kₙ − K₀. Die Formel lässt sich auch umstellen:

• Anfangskapital: K₀ = Kₙ ÷ qⁿ (Abzinsung, Barwert)
• Zinssatz: p = ((Kₙ ÷ K₀)^(1/n) − 1) × 100
• Laufzeit: n = ln(Kₙ ÷ K₀) ÷ ln(q)

Die Zinsen steigen jedes Jahr, obwohl der Zinssatz gleich bleibt. Nach fünf Jahren betragen sie zusammen 1.705,73 €. Bei einfacher Verzinsung wären es 5 × 320 € = 1.600 €. Der Unterschied von 105,73 € sind die Zinsen auf Zinsen.

Mit der Formel geht es in einem Schritt: 10.000 × 1,032⁵ = 10.000 × 1,170573 = 11.705,73 €. Andere Werte rechnen Sie mit dem Zinsrechner, der auch die Jahrestabelle ausgibt.

Viele Tagesgeldkonten schreiben Zinsen monatlich oder vierteljährlich gut. Dann wird der Jahreszins durch die Zahl der Perioden m geteilt und die Laufzeit mit m multipliziert:

Kₙ = K₀ × (1 + p ÷ (100 × m))^(m × n)

Bei monatlicher Gutschrift wachsen 10.000 € zu 3,2 % in fünf Jahren auf 11.732,61 €, also 26,88 € mehr als bei jährlicher Gutschrift. Der effektive Jahreszins liegt dann bei rund 3,25 %. Banken müssen bei Krediten den effektiven Jahreszins nach der Preisangabenverordnung ausweisen, damit Angebote mit unterschiedlichen Zahlungsweisen vergleichbar sind.

Eine Faustregel schätzt die Verdopplungszeit ohne Logarithmus: 72 geteilt durch den Zinssatz ergibt die Jahre bis zur Verdopplung.

Die Regel funktioniert gut zwischen etwa 2 und 12 Prozent. Sie lässt sich auch umkehren: Wer sein Geld in zehn Jahren verdoppeln will, braucht rund 7,2 % Rendite pro Jahr. Und sie gilt auch für Inflation: Bei 3 % Teuerung halbiert sich die Kaufkraft in etwa 24 Jahren.

In Deutschland unterliegen Zinsen der Abgeltungsteuer von 25 % plus Solidaritätszuschlag von 5,5 % darauf, zusammen 26,375 %, gegebenenfalls zuzüglich Kirchensteuer. Steuerfrei bleibt der Sparerpauschbetrag von 1.000 € pro Jahr, bei Zusammenveranlagung 2.000 €, wenn Sie Ihrer Bank einen Freistellungsauftrag erteilen. Im Beispiel oben bleiben die jährlichen Zinsen zwischen 320 und 363 € unter dieser Grenze, sofern keine anderen Kapitalerträge anfallen.

Werden Zinsen versteuert, sinkt der wirksame Zinssatz. Bei 3,2 % und voller Steuerpflicht bleiben rund 2,36 % nach Steuern. Auch die Inflation zehrt am Ergebnis: Ist die Teuerung so hoch wie der Zins nach Steuern, wächst die Kaufkraft trotz Zinseszins nicht. Aktuelle Inflationsraten veröffentlicht das Statistische Bundesamt monatlich.

Der Effekt wirkt in beide Richtungen. Bei Krediten, deren Zinsen nicht laufend bezahlt werden, wächst die Schuld ebenfalls exponentiell. Das betrifft etwa Dispokredite oder gestundete Raten. Bei Annuitätendarlehen wird dagegen jeden Monat getilgt, die Restschuld sinkt und damit auch der Zinsanteil.

Bei Sparplänen kommt zu jedem Zeitpunkt neues Kapital hinzu. Jede Einzahlung verzinst sich für die restliche Laufzeit. Frühe Einzahlungen tragen deshalb überproportional zum Endbetrag bei. Der Zinsrechner enthält einen Modus für regelmäßige Einzahlungen.

Zwei Hebel bestimmen das Ergebnis: der Zinssatz und die Zeit. Die folgende Tabelle zeigt, was aus 10.000 € wird, wenn sich nur einer der beiden ändert.

Bei 2 % verdoppelt sich der Betrag in 30 Jahren nicht ganz, bei 6 % wächst er fast auf das Sechsfache. Eine Verdopplung des Zinssatzes von 2 auf 4 % führt nach 30 Jahren nicht zu doppelt so viel Zinsen, sondern zu fast dem Dreifachen: 22.433,98 € statt 8.113,62 €. Diese Werte gelten ohne Steuern und Kosten, die beides spürbar senken.

Die Formel funktioniert auch rückwärts. Wer in zehn Jahren 20.000 € braucht und mit 3 % Zins rechnet, muss heute 20.000 ÷ 1,03¹⁰ = 14.881,88 € anlegen. Dieser Barwert ist in der Finanzplanung wichtig, etwa für Ausbildungskosten, eine Anschaffung oder den Vergleich von Einmalzahlung und Rente. Je höher der angenommene Zins, desto kleiner der heutige Wert.

Die Zinseszinsrechnung ist eng mit der Eulerschen Zahl e verbunden. Jakob Bernoulli untersuchte im 17. Jahrhundert, was passiert, wenn Zinsen immer häufiger gutgeschrieben werden. Bei 100 % Zins und unendlich vielen Gutschriften pro Jahr wächst ein Euro nicht auf unendlich, sondern auf e ≈ 2,718 Euro. Daraus stammt die Formel für stetige Verzinsung K × e^(p × n).

Bei Fonds und Versicherungen ziehen laufende Kosten jedes Jahr einen Prozentsatz vom Kapital ab. Aus 5 % Rendite werden bei 1,5 % Kosten nur 3,5 %. Über 30 Jahre wachsen 10.000 € dann auf 28.067,94 € statt auf 43.219,42 €. Vergleichen Sie deshalb Angebote immer nach Kosten.