Prozentuale Veränderung berechnen: Zu- und Abnahme

Veränderung in % = (Neuwert − Altwert) ÷ Altwert × 100

Die Differenz im Zähler ist die absolute Veränderung, der Altwert im Nenner ist der Grundwert. Das Vorzeichen zeigt die Richtung: positiv heißt Zunahme, negativ heißt Abnahme.

Eine Alternative ohne Subtraktion: Neuwert ÷ Altwert − 1. Für 92 ÷ 80 = 1,15 ergibt das 0,15, also 15 %. Dieser Wachstumsfaktor ist praktisch, wenn Sie mehrere Veränderungen verketten.

Weil sich jede Veränderung auf ihren eigenen Ausgangswert bezieht, gleichen sich gleich große Prozentsätze nicht aus.

• Ein Preis steigt um 10 % und fällt dann um 10 %: 100 € → 110 € → 99 €. Am Ende fehlen 1 %.
• Ein Depot verliert 50 % und muss dann um 100 % steigen, um wieder auf dem Ausgangswert zu sein.
• Ein Rabatt von 20 % auf einen zuvor um 20 % erhöhten Preis ergibt 96 % des Originals.

Die Faktoren werden multipliziert, nicht die Prozentsätze addiert: 1,1 × 0,9 = 0,99. Diese Regel ist für Preise, Kurse und Statistiken gleichermaßen wichtig.

Verändert sich eine Größe, die selbst schon in Prozent angegeben ist, gibt es zwei mögliche Aussagen. Steigt die Arbeitslosenquote von 4 % auf 5 %, dann

• ist sie um einen Prozentpunkt gestiegen (absolute Differenz),
• ist sie um 25 Prozent gestiegen (relative Veränderung: 1 ÷ 4).

Beide Aussagen sind richtig, aber nicht austauschbar. Seriöse Statistiken, etwa die des Statistischen Bundesamts, nennen bei Quoten in der Regel Prozentpunkte. Wenn Sie selbst berichten, nennen Sie im Zweifel beide Werte.

Manchmal ist nur das Ergebnis bekannt: „Nach einer Erhöhung um 8 % kostet das Abo 16,20 €. Was kostete es vorher?“ Teilen Sie durch den Wachstumsfaktor: 16,20 ÷ 1,08 = 15,00 €. Bei einer Senkung um 8 % wäre der Faktor 0,92.

Ziehen Sie nicht einfach 8 % vom neuen Preis ab. 16,20 € − 8 % = 14,90 € wäre falsch, weil sich die 8 % auf den alten Preis beziehen. Die Grundlagen zu vermehrtem und vermindertem Grundwert stehen im Ratgeber Prozent berechnen.

Steigt ein Wert in fünf Jahren von 100 auf 150, beträgt die Gesamtveränderung +50 %. Das sind aber nicht 10 % pro Jahr, denn jedes Jahr baut auf dem vorherigen auf. Die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (englisch CAGR) berechnen Sie so:

Rate = (Endwert ÷ Anfangswert)^(1 ÷ Jahre) − 1

Für das Beispiel: 1,5^(1/5) − 1 ≈ 0,0845, also rund 8,45 % pro Jahr. Mit 10 % pro Jahr wären nach fünf Jahren 161 erreicht. Dieser Zusammenhang ist derselbe wie beim Zinseszins; mehr dazu im Ratgeber Zinseszins erklärt.

Umgekehrt verketten Sie bekannte Jahresraten durch Multiplikation: +3 %, −2 % und +5 % ergeben 1,03 × 0,98 × 1,05 ≈ 1,0599, also rund +6 % insgesamt.

• Altwert null: Eine Veränderung von 0 auf 5 lässt sich nicht in Prozent ausdrücken, weil durch null geteilt würde. Nennen Sie die absolute Veränderung.
• Negativer Altwert: Ein Unternehmen verbessert sich von −20.000 € Verlust auf +10.000 € Gewinn. Die Formel liefert −150 %, obwohl es besser wurde. Nutzen Sie in solchen Fällen den Betrag des Altwerts im Nenner oder verzichten Sie auf Prozent.
• Kleine Basis: Von 2 auf 4 Fälle sind +100 %. Das klingt dramatisch, ist aber statistisch wenig aussagekräftig. Nennen Sie immer auch die absoluten Zahlen.

Für schnelle Rechnungen hat der Prozentrechner einen eigenen Modus für Veränderungen.

Steht der alte Wert in A2 und der neue in B2, schreiben Sie =(B2-A2)/A2 oder =B2/A2-1 und formatieren die Zelle als Prozent. Für den Jahresdurchschnitt über n Jahre in C2 gilt =(B2/A2)^(1/C2)-1. Fehler #DIV/0! zeigt an, dass der Ausgangswert null ist.

Preiserhöhung

Ein Monatsabo steigt von 12,99 € auf 14,99 €. Veränderung: 2 ÷ 12,99 × 100 ≈ +15,4 %.

Gewichtsabnahme

Von 86 kg auf 79 kg: −7 ÷ 86 × 100 ≈ −8,1 %.

Mieterhöhung

Die Kaltmiete steigt von 720 € auf 790 €. Das sind +9,7 %. In Deutschland begrenzt die Kappungsgrenze nach § 558 Abs. 3 BGB Erhöhungen bis zur ortsüblichen Vergleichsmiete auf 20 % in drei Jahren, in vielen Städten auf 15 %. Wer das prüfen will, vergleicht die Miete mit dem Stand vor drei Jahren.

Aktienkurs

Eine Aktie fällt von 48 € auf 36 € (−25 %) und steigt dann auf 45 €. Gegenüber dem Tiefpunkt sind das +25 %, gegenüber dem Ausgangswert immer noch −6,25 %.

Statistische Ämter veröffentlichen viele Reihen als Index, zum Beispiel den Verbraucherpreisindex mit einem Basisjahr gleich 100. Die Veränderung zwischen zwei Zeitpunkten berechnen Sie genauso wie bei Preisen: (Index neu − Index alt) ÷ Index alt × 100. Steigt ein Index von 117,4 auf 120,9 Punkte, beträgt die Veränderung (3,5 ÷ 117,4) × 100 ≈ 2,98 %. Die Differenz von 3,5 Indexpunkten ist keine Prozentangabe.

Ein Index erleichtert den Vergleich über lange Zeiträume, weil alle Werte auf dasselbe Basisjahr bezogen sind. Wechselt das Basisjahr, rechnen die Statistikämter die alte Reihe um. Verwenden Sie für eigene Berechnungen deshalb immer Werte aus derselben Reihe.

Wer Zahlen präsentiert, sollte Prozentangaben immer mit dem Ausgangswert, dem Zeitraum und den absoluten Zahlen versehen. „Umsatz +12 %“ sagt wenig, „Umsatz von 2,5 auf 2,8 Mio. € gestiegen, +12 % gegenüber dem Vorjahr“ dagegen alles Nötige. In Diagrammen gehören Veränderungsraten auf eine eigene Achse oder in ein eigenes Diagramm, damit sie nicht mit absoluten Werten verwechselt werden.

Vorsicht bei abgeschnittenen Achsen: Beginnt die y-Achse nicht bei null, wirkt eine Zunahme von 2 % wie eine Verdopplung. Und bei Vergleichen verschiedener Gruppen sollte die Basis ähnlich groß sein, sonst erscheinen kleine Gruppen mit wenigen Fällen besonders auffällig. Die Statistikämter geben in ihren Veröffentlichungen deshalb fast immer beide Werte an.

Steigen Löhne um 5 % und Preise um 3 %, beträgt die reale Veränderung nicht genau 2 %, sondern 1,05 ÷ 1,03 − 1 ≈ 1,94 %. Bei kleinen Raten ist die einfache Differenz eine brauchbare Näherung, bei hohen Raten weicht sie spürbar ab. Für amtliche Reallohnreihen rechnet das Statistische Bundesamt mit Indizes.